Question

求（1+tan1)(1+tan2)(1+tan3)......(1+tan44)的值。

Answer 1

有一个结论

若a，b为锐角，（1+tana）*(1+tanb)=2等价于a+b=45.

因此，答案为2的22次方

或

1=tan45= tan(1+44)=(tan1+tan44)/(1-tan44) 所以
1-tan1*tan44=tan1+tan44
其它类似, 即1- tanx*tan(45-x)=tanx+tan(45-x)
设S= （1+tan1）（1+tan2）（1+tan3）（1+tan4）……（1+tan44）
那么 S*S=[（1+tan1)*(1+tan44)]*[(1+tan2)(1+tan43)]*......*(1+tan44)*(1+tan1)]
类似倒序求和
S*S=(1+tan1*tan44+tan1+tan44)*(1+tan2*tan43+tan2+tan43)+.......*1*1
将 1-tan1*tan44=tan1+tan44 代入 得到
S*S=2*2*2*...*1*1= 2^44*1
所以S =2^22
即 2的22次方

Answer 2

(1+tank°)[1+tan(45°-k°)]=1+tank°+tan(45°-k°)+tank°tan(45°-k°) -------(1)
tan45°=tan(45°-k°+k°)=[tan(45°-k°)+tank°]/[1-tank°tan(45°-k°) ---> tan(45°-k°)+tank°=1-tank°tan(45°-k°)代入(1)式，得
(1+tank°)[1+tan(45°-k°)]=1+tank°+1-tank°tan(45°-k°)+tank°tan(45°-k°)=2
(1+tan1°)(1+tan2°)....(1+tan43°)(1+tan44°)
=[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]...[(1+tan22°)(1+tan23°)]=2*2*...*2=2^22

Answer 3

解：