Question

已知直线l:y=kx+1，椭圆E:x^2/9+y^2/m^2=1(m>0）

（1）若不论k取何值，直线l与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离线率
e关于m的函数式
（2)当k=根号10/3时，直线l与椭圆E相交于A.B两点，与y轴交于点M，
若向量AM=2向量MB,求椭圆E方程

Answer 1

（1）若不论k取何值，直线l与椭圆E恒有公共点
即：点（0，1）在椭圆内或椭圆上
得：1/m^2≤1
m≥1
m=3时是圆
所以m≠3
m的取值范围[1,3)∪（3，+∞）
m∈[1,3)时
e=c/a=√(9-m^2)/3
m∈(3，+∞）时
e=√(m^2-9)/m
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,1)
向量AM=2向量MB=>x1=-2x2..............(1)
y=kx+1
m^2x^2+9y^2=9m^2
m^2x^2+9(kx+1)^2=9m^2
(m^2+9k^2)x^2+18kx+9(1-m^2)=0
x1+x2=-18k/(m^2+9k^2)........(2)
x1x2=9(1-m^2)/(m^2+9k^2)..........(3)
由（1）（2）得
x2=18k/(m^2+9k^2)
x1=-36k/(m^2+9k^2)
所以:18×（-36）k^2/(m^2+9k^2)^2=9(1-m^2)/(m^2+9k^2)
得到：-72k^2=(1-m^2)(m^2+9k^2)
k^2=10/9
-80=(1-m^2)(m^2+10)
令m^2=t,得:-80=(1-t)(t+10)
t^2+9t-90=0
t=6或-15(舍去）
m^2=6
椭圆E方程:x^2/9+y^2/6=1

Answer 2

(2)直线y=kx+m原点到直线的距离=√3/2 那么｜m｜/√(1+k 2;)=√t=(1+k 2;)[9k 2;(3+3k 2;)/(1+3k 2;) 2;+(12-9-9k 2;