Question

已知sin(2α-β)=5/13,sinβ=-3/5,α∈（π/2，π），β∈（-π/2,0），求sinα的值！

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Answer 1

α∈（π/2，π），β∈（-π/2,0）则2α∈（π，2π），sinα＞0
sinβ=-3/5，则cosβ=4/5
sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=5/13
则cos(2α-β)=12/13=cos2αcosβ+sin2αsinβ
所以4/5sin2α+3/5cos2α=5/13①
4/5cos2α-3/5sin2α=12/13②
联立①②，解得
sin2α =-16/65
cos2α =63/65
因为cos2α =63/65=1-2sin²α
所以sin²α=1/65
所以sinα=√65/65

追问

sin2α =-16/65
cos2α =63/65
这步这么得出cos2α一定是正的？

追答

4/5sin2α+3/5cos2α=5/13
4/5cos2α-3/5sin2α=12/13
二元一次方程的解就一组。

Answer 2

参考资料

已知α∈（0,π/2），β∈（-π/2，0），且sinβ=-5/13，cos（α-β）=3/5，求sinα的值。
解：∵β∈（-π/2,0)，且sinβ=-5/13,∴cosβ=√[1-(-5/13)²]=12/13.
又∵0<α<π/2，0<β<-π/2，∴两式相减得0<α-β<π
故由cos(α-β)=3/5,得sin(α-β)=√[1-(3/5)²]=4/5
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=12cosα/13-5sinα/13=3/5 …………(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=12sinα/13-(-5cosα/13)=12sinα/13+5cosα/13=4/5 …………(2)
由(1)得cosα=(13/12)(3/5+5sinα/13)=(13/20)+(5/12)sinα
代入(2)式得：(12/13)sinα+(5/13)[(13/20)+(5/12)sinα]=4/5
(12/13)sinα+(1/4)+(25/156)sinα=4/5
(169/156)sinα=11/20
∴sinα=(11/20)×(156/169)=33/65.