Question

高等数学的问题

这是一道同济高等数学里面的一道课后题（题目 见图）
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我想问一下 (√1+x^2 -1)^3等于 ----x^2 还有(√1+sin x -1)= ---- sinx
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求详细的过程。谢谢
我使用的谷歌浏览器发布的问题。呵呵可能使用IE内核的浏览器看不清楚
我重新使用IE来补充说明
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我想问一下 (√1+x^2 -1)^3等于------x^2 还有(√1+sin x -1)=----- sinx
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现在应该能看清楚了吧。 图不知道能不能显示出来

Answer 1

这两个等式在极限的情况下才成立。原理都是无穷小量近似。具体说是有如下等价
（1+a）^n ~ 1+na
上式成立的条件是若有当x趋于零，lima=0,即a是趋于零的无穷小量
则lim（1+a）^n=lim(1+na)抱歉，为了节省时间，我的lim下面就不标x->0了。
原题中令a=x^2,n=1/3,带入上式就可以得到你的第一个等式，当a=sinx,n=1/2,带入可以得到你的第二个式子
注意，不是两式相等，而是在极限下的等价。

Answer 2

看看《无穷小的比较》一节的例1，那也算是一个常用的等价无穷小

Answer 3

在x―>0时，（1+u）^1/n与1+1/n u是等价无穷小，其中，u是x的函数，并且在x―>0时，u―>0。在求极限过程中，这两个式子可以相互替换。因此，你这道题目中(√1+x^2 )^1/3换成了1+1/3x^2，(1+sin x)^1/2换成了1+1/2 sin x ,从而得到后面那个等式。你把题目中的的算式理解错了，不是(√1+x^2 -1)^3，而是(√1+x^2 -1)^1/3。
具体内容请参见同济六版高等数学，无穷小中的等价无穷小那部分内容，书上专门推导了公式

Answer 4

下面是等价无穷小代换，见同济第六版58页，此题是58页的推广。上面的提取sinx。

Answer 5

那个是等价无穷小~~在x―>0时，（1+u）^1/n与1+1/n u是等价无穷小 ，用多了就习惯了

Answer 6

公式（1+x）^n-1=1/n*x
x可以是sin x等等