数学题1*2+2*3+3*4+4*5+5*6......+99*100

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员长顺谷妆
2019-12-28 · TA获得超过3.6万个赞
知道大有可为答主
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首先可以知道存在这样一个数列{an}:1*2,2*3,3*4,...,99*100
可以看出数列的通项公式
an=n(n+1)=n^2+n
从上面可以得到启示
1*2=1^2+1
2*3=2^2+2
3*4=3^2+3
.
.
.
99*100=99^2+99
于是原式=(1^2+2^2+3^2+...+99^2)+(1+2+3++...+99)
1到99的平方和可以用平方和公式
sn=
n(n+1)(2n+1)/6(证明放在最后面)
即:1^2+2^2+3^2+...+99^2=99*100*199/6=328350
1+2+3+...+99=(1+99)99/2=4950
因此
原式=328350+4950=333300
(附)平方和公式证明如下
证明1+4+9+…+n^2=N(N+1)(2N+1)/6
1、N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2、N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证。
咖喱拌菠菜
2022-07-18
知道答主
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这种题有公式,直接套公式就行:
1×2+2×3+3×4+···+n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)÷3
1×2+2×3+3×4+4×5+5×6......+99×100
=99×100×101÷3
=10100×33
=333300
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