Question

矩阵的秩为什么行秩等于列秩？

Answer 1

这是因为每个矩阵都可以通过初等变换，得到唯一的标准型与之对应，而标准型中的非零行数就是秩。不管通过初等行变换来求行秩，还是初等列变换求列秩，最终都可以化成这个唯一的标准型，且行秩（或列秩），就等于秩。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。
扩展资料：
设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
矩阵的行秩，列秩，秩都相等。初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。
令A是一个m×n矩阵，定义rk(A)为A的列秩，A为A的共轭转置或称施密特转置。首先可知AAx=
0当且仅当Ax=
0。
AAx=
0
⇒xAAx=
0
⇒(Ax)(Ax)=
0
⇒
‖Ax‖=
0
⇒
Ax
=
0,其中‖·‖是欧氏范数。这说明A的零空间与AA的零空间相同。由秩－零化度定理，可得rk(A)
=
rk(AA)。AA的每一个列向量是A的列向量的线性组合。所以AA的列空间是A的列空间的子空间，从而rk(AA)
≤
rk(A)。
即:
rk(A)
=
rk(AA)
≤
rk(A)。
应用这一结果于A可或得不等式:
since
(A)=A，可写作rk(A)
≤
rk((A))
=
rk(A)，这证明了rk(A)
=
rk(A)，证毕。
参考资料来源：搜狗百科——矩阵的秩
参考资料来源：搜狗百科——列秩

Answer 2

这是因为每个矩阵都可以通过初等变换，得到唯一的标准型与之对应，
而标准型中的非零行数就是秩。
不管通过初等行变换来求行秩，还是初等列变换求列秩，最终都可以化成这个唯一的标准型，且行秩（或列秩），就等于秩。

Answer 3

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
定义1.
在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列
(1£k£min{m,n})
交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵
中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式
就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2.
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩，记作rA，或rankA。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n)
易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,
det(A)¹
0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性...矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
定义1.
在m´n矩阵A中，任意决定k行和k列
(1£k£min{m,n})
交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵
中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式
就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2.
A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A
的秩，记作rA，或rankA。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然rA≤min(m,n)
易得：
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,
det(A)¹
0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

Answer 4

简单计算一下即可，答案如图所示