Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC,AD垂直BC于点D,DE垂直AC于点E,F为DE中点.(1)求证:AF垂直BE

Answer 1

（1）如图所示,M是EC的中点，连接DM，

延长AF交DM于N点

AF，BE相交于H点

因为DE⊥AC

所以∠AED=∠CED=90°

又因为AD垂直BC于点D

所以∠ADC=90°=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠C

可得∠ADE=∠C

所以△ADE∽△DCE

又因为F是DE中点，M是EC的中点，

所以△AEF∽△DEM

所以∠EAF=∠EDM，∠AMD为公共角

所以△AMN∽△DME

所以∠ANM=∠DEM=90°

即AN⊥DM

因为AB=AC，AD垂直BC

所以D是BC中点，因为M是EC的中点，

所以DM∥BE(中位线定理）

所以AN⊥BE,即AF垂直BE

(2) 由（1）已知DM∥BE(中位线定理）

且DM=1/2BE=√30/2

又因为△ADE∽△DCE

所以(AF/DM)^2=S△ADE/S△DCE

((17√30/15)/(√30/2))^2=(34/15)^2=S△ADE/2

S△ADE=2312/225

S△ABC=2S△ADC=2(S△ADE+S△DEC)

=2*(2312/225+2)

=5524/225

Answer 2

1)
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D、E、F是三边的中点
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°
∵△DMN是等边三角形
∴∠MDN＝60°，DM=DN
∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN
∠NDF
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE，
DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE
设EN与BC交点为P，连结NF
由△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形
∴∠MDN=∠BDF＝60°
∴∠MDN－∠BDN
=∠BDF－∠BDN
即∠MDB=∠NDF
在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF
∴△DMB≌△DNF
∴∠DBM=∠DFN
∵∠ABC
=60°
∴∠DBM
=120°
∴∠NFD
=120°
∴∠NFD
∠DFE
=120°
60°=180°
∴N、F、E三点共线
∴F与P重合
∴F在直线NE上
(2)
成立
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC=BC
又∵D，E，F是三边的中点
∴DE，DF，EF为△ABC的中位线
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°
又∠MDF
∠FDN=60°
∠NDE
∠FDN=60°
∴∠MDF=∠NDE
在△DMF和△DNE中，DF=DE,∠MDF=∠NDE，
DM=DN
∴△DMF≌△DNE
∴MF=NE
（3）
MF=NE仍成立

Answer 3

证明：
∵AB＝AC，显然三角形ABC为等腰三角形，
D为BC的中点，则AD⊥BC
易得，△ADC∽△DEC；
∴∠ADE=∠C，AD/DC=DE/CE；
∴AD/（2DC）=（1/2DE）/CE，
即AD/BC=DF/CE；
又∵∠ADE=∠C；
∴△ADF∽△BCE；
从而，∠EBC=∠DAF；
又∵对顶角相等，即∠BND=∠ANE；
∴△ANM∽△BND
∵AD⊥BC
∴AF⊥BE。