Question

初中奥数——因式分解-分式

设A=(b²+c²-a²)/2bc,B=(a²+c²-b²)/2ac,C=(b²+a²-c²)/2ab,
（1）当A+B+C=1时，求证：A的2008次方+B的2008次方+C的2008次方=3；
（2）当A+B+C>1时，试问三个正数a,b,c能否作为一个三角形的三边之长？
劳驾！

Answer 1

解答如下：

Answer 2

构造一下：因为 A+B+C=1， 所以：（A+1）+（B-1）+（C-1）=0
将A,B,C式子代入，先分别通分，构成公式，然后两边同时乘以2abc，便得到：
a(a+b+c)(b+c-a)+b(a-c-b)(a-c+b)+c(a-b+c)(a-b-c)=0
整理：(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=0
至少有一个为0，设a+b-c=0，=》a+b=c,
代入,C=(b²+a²-c²)/2ab=(b+a)²-c²-2ab)/2ab=-1,
C=-1.
同理可得： A=1, B=1。
A^2008+B^2008+C^2008=1+1+1=3