Question

计算三重积分 ∫∫∫（x^2+y^2+z）dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.

Answer 1

曲面z=1-x^2-y^2是一个倒扣的旋转抛物面，顶点是（0，0，1），
在XOY平面投影是一个半径为1的圆
，把空间坐标系转换为柱面坐标较简单，
原式=
4∫（0→π/2）dθ∫（0→1）dr∫(0→1）（rcosθ)^2+(rsinθ)^2+z)rdz
=
4∫（0→π/2）dθ∫（0→1）dr∫(0→1）（r^3+zr)dz
=4∫（0→π/2）dθ∫（0→1）dr[r^3z+z^2r/2](0→1)
=4∫（0→π/2）dθ∫（0→1）(r^3+r/2)dr
=4∫（0→π/2）dθ（r^4/4+r^2/4)(0→1)
=4∫（0→π/2）(1/4+1/4)dθ
=4(θ/2)（0→π/2）
=π.