Question

数学的几道难题

Answer 1

1、解方程组：（x+y）2-4（x+y）-45=0

（x-y）2-2（x-y）-3=0
解：设x+y=a，x-y=b，则原方程化为a2-4a-45=0,b2-2b-3=0
解得a=5或a=9,b=1或b=-3。

即x+y=5或x+y=9,x-y=-1或x-y=3

解x+y=5，x-y=-1得x=2,y=3，代入方程组不成立，舍去。

解x+y=9，x-y=-1得x=4,y=5，代入方程组成立。

解x+y=5，x-y=3得x=4,y=1，代入方程组不成立，舍去。

解x+y=9，x-y=3得x=6,y=3，代入方程组成立。

所以，方程组的解为x=4,y=5或x=6,y=3

2、已知下列关于x、y的方程组有相同的解,求m、n的值

2x-3y=8
①
与x-2y=5
②
（1）

（1-2m）x+2y=1-n
nx+y=m+1
（2）

解：在方程组（1）中

①-②x2得y=-2。将y=-2代入①得，2x-3（-2）=8，所以x=1

所以方程组（1）的解为x=1，y=-2

将x=1，y=-2代入方程组（2）得

1-2m-4=1-n，n-2=m+1

即2m-n=-4
③,
m-n=-3
④

③-④得m=-1，将m=-1代入③得n=2

所以m=-1，n=2

3、已知抛物线的解析式为y=-
x2+2mx+4-m2
（1）求证：不论m取何值，此抛物线与x轴必有两个交点，且交点A、B之间的距离为定值

（2）设点P为此抛物线的一点，若三角形PAB的面积为8，求符合条件的所有点P的坐标（可用含m的代数式表示）

解：（1）依题意△=b2-4ac=(2m)2-4(-1)(4-m2)=4m2+4(4-m2)=16>0
所以y=-
x2+2mx+4-m2必有两实数根，即与x轴必有两个交点。
设交点为x1和x2，则距离|x2-x1|=|（-b+根号b2-4ac）/2a-(-b-根号b2-4ac)/2a
|=4
所以A、B之间距离为定值4

（2）S△PAB是以AB为底，P的纵坐标为高的三角形面积，由（1）得AB=4
设P的坐标为（Px，Py）

∴S△PAB=1/2AB*|Py|=1/2*4*|Py|=8
所以py=±4

即-
x2+2mx+4-m2=±4
解方程得x1=m

x2=m-2根号2

x3=m+2根号2

所以P点坐标为（m,4）（m-2根号2,4）（m+2根号2,4）（m,-4）（m-2根号2,-4）（m+2根号2,-4）