Question

已知方程x²+（a-3）x+3=0在实数范围内的解x1，x2，并且x1＞1，x2＞1，求a的取值范围

Answer 1

首先保证方程有根，即Δ>0 得 （a-3）²-4*1*3＞0 得a＜3－2√3 或a＞3＋2√3
在实数范围内的解x1，x2，并且x1＞1，x2＞1
这个条件可以等价转化成为这样：
（x1-1）+(x-1)>0 (x1-1)*(x2-1)>0
即 x1+x2>2 x1*x2-(x1+x2)>-1 ①
根据韦达定理知道
x1+x2=-（a-3）=3-a x1*x2=3
所以代入①，得
3-a>2 而且 3-（3-a）>-1
整理得 -1＜a＜1，综合上面的 a＜3－2√3 或a＞3＋2√3
得，a的范围是（-1,3-2√3）

Answer 2

x1+x2=3-a,x1x2=3.
△=（a-3)^2-12>=0,
∴a>=3+2√3，或a<=3-2√3；①
（x1-1)+(x2-1)=1-a>0,a<1;②
（x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=a+1>0,a>-1.③
求①、②、③的交集，得
-1<a<=3-2√3，为所求。

Answer 3

方程x²+（a-3）x+3=0在实数范围内的解x1，x2,即Δ>0 得 （a-3）²-4*1*3＞0 得a＜3－2√3 或a＞3＋2√3
并且x1＞1，x2＞1
即（x1-1）+(x2-1)>0 , (x1-1)*(x2-1)>0
即 x1+x2>2 x1*x2-(x1+x2)>-1 ①
x1+x2=-（a-3）=3-a x1*x2=3
所以代入①，得
3-a>2 而且 3-（3-a）>-1
整理得 -1＜a＜1，综合上面的 a＜3－2√3 或a＞3＋2√3
得，a的范围是（-1,3-2√3）