Question

向量a乘以向量b为什么等于向量b乘以向量a的共轭？

Answer 1

终于弄明白了，麻烦你看一下。这是定义上的问题。
1、如果在实数域上，两个向量的点乘就是数，而数的共轭就是它本身，如3的共轭是3.那么“（向量a乘以向量b）等于（向量b乘以向量a）的共轭”是显然成立的。
2、如果在复数域上，两个向量的点乘是这样定义的：
设向量x=(x1,x2,……,xn),向量y=(y1,y2,……,yn)，其中xi,yi(i=1,2……,n)是复数。
那么向量x点乘向量y=求和(xk*(yk的共轭)) （k是下标，k从1到n）
下面退出结论：
向量y点乘向量x=求和(yk*(xk的共轭)),（k从1到n）
对（向量y点乘向量x）取共轭，就是（求和(xk*(yk的共轭)) ），即向量x点乘向量y。
所以，在复数域上“（向量a乘以向量b）等于（向量b乘以向量a）的共轭”也是成立的。
顺便说一下，为什么在复数域上有定义：向量x点乘向量y=求和(xk*(yk的共轭))，而不是像实数域上：向量x点乘向量y=（求和(xk*yk)）。
可以这是为了与实数域的情况统一起来。比如取两个向量（1，i)和（1，-i），从图像上可以看出，（1，i)垂直于（1，-i），但是1*1+i*(-i)=2不等于0，这就给复数运算带来不方便，而1*（1的共轭）+i*(-i的共轭)=0。所以复数域定义：向量x点乘向量y=求和(xk*(yk的共轭))