Question

设a>b>0,证明(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b（要过程）

Answer 1

设a/b=x
就变成1-1/x<lnx<x-1x>1
第一个<号
令f(x)=lnx+1/x-1
求导1/x-1/x^2=1/x(1-1/x)>0
所以f(x)递增最小值是f(1)=0所以f(x)>0第一个<成立
第二个<号
令f(x)=x-1-lnx
求导1-1/x>0递增f(1)=0所以f(x)>0第二个<成立
微分中值定理
令f(x)=lnxf'(x)=1/x
由拉格朗日中值定理
存在b<c<a
f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)
lna-lnb=1/c*(a-b)那么ln(a/b)=1/c*(a-b)
其中b<c<a所以(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b