Question

求圆X^2+Y^2+Z^2=1 X+Y+Z=0的参数方程

Answer 1

解：令
z(t)=t,-1<t<1.
则
x^2+y^2+t^2=1,
(1)
x+y+t=0.
(2)
由(2)得
x+y=-t.
(3)
即
x^2+y^2+2xy=t^2.
(4)
(2)-(1)得
2xy-t^2=t^2-1,
即
xy=t^2-1/2.
(5)
由
(3)(5)知,x,y
是方程
u^2+tu+t^2-1/2=0
(6)
的两根.
而由
Delta=t^2-4(t^2-1/2)
=2-3t^2>=0,
得
-(根号6)/3<=t<=(根号6)/3.
所以
解方程(6)得
u1=(-t+根号(2-3t^2))/2,
u2=(-t-根号(2-3t^2))/2.
由对称性,
不妨令
x=u1,y=u2.
故该圆的参数方程为
x(t)=(-t+根号(2-3t^2))/2,
y(t)=(-t-根号(2-3t^2))/2,
z(t)=t,
t属于(
-(根号6)/3,
(根号6)/3
).