Question

高一数学 一道数列题

数列{an}的前n项和是Sn，a1=5，且an=S（n-1）（n=2，3,4……）
1.求数列an的通项公式
2.求证1/a1+1/a2+1/a3+…+1/an＜3/5
谢啦谢啦

Answer 1

楼主你好
1. an=S(n-1)，则a(n+1)=Sn，所以a(n+1)-an=Sn-S(n-1)=an，即a(n+1)=2an（n≥2）
当n=2时，a2=S1=a1=5，所以an=5×2^(n-2)，（n≥2），an=5（n=1）
2. (1/a1)+(1/a2)+……+(1/an)=(1/5)+1/5×(1+1/2+1/4+……+1/2^(n-2))=(1/5)+(1/5)×(1×(1-(1/2)^(n-1))÷(1-(1/2)))=(1/5)+(1/5)×(2×(1-(1/2)^(n-1)))=(1/5)+(1/5)×2-(1/5)×(1/2)^(n-2)=(3/5)-(1/5)×(1/2)^(n-2)＜3/5（n≥2）
当n=1的时候，1/5＜3/5
所以(1/a1)+(1/a2)+(1/a3)+…+(1/an)＜3/5
希望你满意

Answer 2

书上不是有公式吗？自己套啊！刚高中毕业！都忘了

Answer 3

An=S(n-1)
An-1=S(n-2)
做差 An-An-1=An-1
等比数列，q=2，An=5*2的（n-1)次方
2题是求以五分之一为首项，二分之一为公比的等比数列和
Sn=1/5(1-0.5的N次方）/（1-0.5）=2/5*（1-0.5的N次方）
1-0.5的N次方小于1 所以小于3/5

Answer 4

放缩