Question

初三二次函数问题求解

如图：抛物线y=-x^2+2x+3, A(-1,0),B(3,0),C(0,3) 求：在直线BC上方的抛物线上一动点P，三角形BCP面积最大。求出最大面积，并指出P点

坐标。（要求解题过程详细清楚，重点证明P点的位置）

Answer 1

直线BC的方程：y=-x+3，
设与直线BC平行的直线的方程为：y=-x+a,它与抛物线的交点为P
所以，当这条直线与抛物线相切时，三角形的面积最大。
此时联立直线与抛物线方程得：-x²+2x+3=-x+a，整理得：x²-3x+a-3=0
因为相切，所以只有一个实根，即△=0
即：9-4（a-3）=0,所以a=21/4,带入x²-3x+a-3=0,即x²-3x+9/4=0，即（x-3/2）²=0
解得x=3/2, y=15/4 所以P(3/2,15/4)
P到直线BC的距离为d=9根2/8 BC的长度=3根2
最大面积S=（3根2）×（9根2/8）÷2=27/8

数学符号真不好打，谢谢，希望采纳！

Answer 2

解：过P作△BCP边BC上的高，要使得△BCP的面积最大，只要高最大即可，
过P作AB的平行线PQ,交y轴于Q,PQ与抛物线只有一个交点时，直线BC.PQ距离最大，所以高最大，
设过BC的直线为y=kx+b,
b=3,
3k+b=0,
解得.k=-1,
所以直线BC为:y=-x+3,
设直线PQ:y=-x+b，
联立抛物线，解方程组：
y=-x+b,
y=-x^2+2x+3
-x+b=-x^2+2x+3,
x^2-3x+b-3=0,
当△=0，即b^2-4ac=0时，直线PQ和抛物线y=-x^2+2x+3只有一个交点,
解得，9-4（b-3)=0,
所以b=21/4,
所以P(3/2,15/4)
过C作CM垂直PQ,垂足为M,
在直角三角形CMQ中，高CM=(√2/2）*CQ
所以高为（21/4-3）*(√2/2)=9√2/8
所以△BCP最大面积=(1/2)*3√2*(9√2/8)=27/8

Answer 3

如图：抛物线y=-x^2+2x+3, A(-1,0),B(3,0),C(0,3) 求：在直线BC上方的抛物线上一动点P，三角形BCP面积最大。求出最大面积，并指出P点
解析：∵抛物线y=-x^2+2x+3, A(-1,0),B(3,0),C(0,3)
设P(x,y)
S(BCP)=1/2[0*0-3*3+3y-0+3x-0]=1/2(3y+3x-9)
y=-x^2+2x+3
S(BCP)=1/2(-3x^2+6x+9+3x-9) =1/2(-3x^2+9x)
令f(x)= 1/2(-3x^2+9x)
F’(x)= 1/2(-6x+9)=0==>x=3/2
或f(x)= -3/2(x^2-3x)= -3/2((x-3/2)^2+27/8
∴当x=3/2时，函数f(x)取极大值f(3/2)= 1/2(-27/4+27/2)=27/8
∴P（3/2,15/4）

Answer 4

若存在点P使△BCP的面积最大，则点P在与直线BC平行且和抛物线只有一个交点的直线PE上，设PE与x轴相交于点E，
直线BC为y=-x+3
∴设直线PE为y=-x+b．
y=-x+b,
y=-x^2+2x+3
∴-x2+2x+3=-x+b即
∴x2-3x+b-3=0
∵抛物线与直线只有一个交点
∴△=9-4（b-3）=0
∴b= 在直线PE：y=-x+ 中
∴P(3/2,15/4)P到直线BC的距离为d=9根2/8 BC的长度=3根2
最大面积S=（3根2）×（9根2/8）÷2=27/8