Question

一个高等数学问题(关于导数)

x=x(t)
y=y(t)
并且, x,y 都可导
设 x^2+y^2=r^2
问题是这样的:
当 r>=1时
能否定义一个对 t 可导的 A, 使得下面两个式子成立:
cosA=x/r
sinA=y/r
如果可以, 给出A的解析表达式! (注意是利用x,y 求出A的表达式)
求高手!在线等,谢谢!
如果确定了A可导的话,用隐函数求导法是可以求出导数值; 因此这里就是需要知道
这样可导的A到底是否存在了~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(0,2pi]; 或者(-pi, pi] 一个周期内!
我根据那个cosA, sinA 只能定义A是不连续的: 做不到处处都可导
(1) x>0 , A=atan(y/x)
(2) x<0, y>=0 A=pi-atan(y/x)
(3) x=0, y>0 A=pi/2
(4) x<0, y<=0 A=-pi+atan(y/x)
(5) x=0, y<0 A=-pi/2

Answer 1

也许我没太弄懂你的意思。
令 A=arccos(x/r)=arccos(x(t)/r)，这是一个由A=arccosu及u=x(t)/r构成的复合函数A=f(g(t))，由复合函数的求导条件，易判别A对t可导(当然对一些特殊点除外），并可求出结果。
再由x^2+y^2=r^2 ，可得 A=arcsin(y(t)/r)，余下的道理一样。

追问

谢谢你的回复.
事实上, 对给定的满足条件的 (x,y ) , 这个A当然肯定是存在的, 而且是唯一确定的角度!
但是我是想能否寻找出这个A=多少的x, y? (并且关于x,y 有连续偏导, 从而当然可导了) ;
也许这个问题无解的,可能没法做到这一点; 或者是有解的只是我不清楚! 请教各位高手~~~~~~~~~~~~~

追答

最近时间紧，如果一周后你的问题还没解决，我再帮你。

追问

好, 谢谢!

Answer 2

貌似你要说的是圆的参数方程，
x=a+r(cosh)
y=b+r(sinh)
(其中坐标（a,b）是圆的圆心，r是圆的半径，至于那个h只是角度，)
（关于角度就是圆上某个点与圆心的连线与x所成的角度！）
要求到的话，就相应的求导公式！

Answer 3

∵x=x(t)，y=y(t)； x²+y²=x²(t)+y²(t)=r²(t)；∴x²/r²+y²/r²=x²(t)/r²(t)+y²(t)/r²(t)=1
∴可令 x/r=cosA，y/r=sinA；这样的A一定存在！∵cos²A+sin²A=1.
A=arccos(x/r)=arcsin(y/r).

Answer 4

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