Question

几道变态初一数学题。。。

1）求a^21+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1被x^2+x+1除所得的余式（前面除以后面）
2）当50-(2a+3b)^2达到最大值时，求1+4a^2-9b^2
3) 已知a+b+c=a^2+b^2+c^2=2 求证 a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2
麻烦大家帮帮忙，明天的学习班要交，麻烦题题给过程，要详细，好的加分。。。我初一，请给出我看的懂的过程，谢谢

Answer 1

解：
第一问、关键是 x³-1 能被 x²+x+1 整除，所以要求余式，只要凑成 x³-1的倍数；
x^21+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1
= x^21 -x^18 +x^18+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^18 -x^15+2x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^15-2x^12+3x^12+x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^12-3x^9+4x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^9-4x^6+5x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^3(x³-1)+5x^6-5x³+6x³+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^3(x³-1)+5x³(x³-1)+6x³-6+7
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^3(x³-1)+5x³(x³-1)+6(x³-1)+7
而该式前面的项含 (x³-1)，又 x³-1=(x-1)(x²+x+1)，所以都能被x²+x+1整除；
余数为 7。

第二问 ： 由 50-(2a+3b)²当且仅当 (2a+3b)=0时取到最大值，得到 2a+3b=0，2a= -3b；
1+4a^2-9b^2 =1+(2a)²-(3b)²=1+(-3b)²-(3b)²=1。

第三问：由 a+b+c=2，a²+b²+c²=2，而
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
代入已知，解得 ab+bc+ca=1；
则 ab+c(a+b)=1，又c=2-(a+b)，代入得
ab+(a+b)(2-a-b)=1，化简整理得
a²+ab+b²-2(a+b)+a-b=0；
两边同乘以 (a-b)得
(a-b)(a²+ab+b²)-2(a-b)(a+b)+(a-b)²=0
a³-2a²+a=b³-2b²+b
a(1-a)²=b(1-b)²；
由于已知条件对a，b，c同等，可以替换a，b，c证明另外一个结论。

Answer 2

解：
第一问、关键是 x³-1 能被 x²+x+1 整除，所以要求余式，只要凑成 x³-1的倍数；
x^21+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1
= x^21 -x^18 +x^18+x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^18 -x^15+2x^15+x^12+x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^15-2x^12+3x^12+x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^12-3x^9+4x^9+x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^9-4x^6+5x^6+x^3+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^3(x³-1)+5x^6-5x³+6x³+1
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^3(x³-1)+5x³(x³-1)+6x³-6+7
=x^18(x³-1) +x^15(x³-1)+2x^12(x³-1)+3x^9(x³-1)+4x^3(x³-1)+5x³(x³-1)+6(x³-1)+7
而该式前面的项含 (x³-1)，又 x³-1=(x-1)(x²+x+1)，所以都能被x²+x+1整除；
余数为 7。

第二问 ： 由 50-(2a+3b)²当且仅当 (2a+3b)=0时取到最大值，得到 2a+3b=0，2a= -3b；
1+4a^2-9b^2 =1+(2a)²-(3b)²=1+(-3b)²-(3b)²=1。

第三问：由 a+b+c=2，a²+b²+c²=2，而
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
代入已知，解得 ab+bc+ca=1；
则 ab+c(a+b)=1，又c=2-(a+b)，代入得
ab+(a+b)(2-a-b)=1，化简整理得
a²+ab+b²-2(a+b)+a-b=0；
两边同乘以 (a-b)得
(a-b)(a²+ab+b²)-2(a-b)(a+b)+(a-b)²=0
a³-2a²+a=b³-2b²+b
a(1-a)²=b(1-b)²；
由于已知条件对a，b，c同等，可以替换a，b，c证明另外一个结论。

Answer 3

1.怎么是a？打错了？ 就当成普通的除法做，但要空下X^n系数为0的位置
2.最大时（2a+3b）为零，将b用a表示，代入得二次函数求解
3.老实说我不会，承认很变态（当然前面对于初一已经够变态了，同学你哪里的啊）

追问

我盐城的唉