Question

数学几何动点问题

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN‖BC，设MN交角BCA的平分线于点E，交角BCA的外角平分线于点F。
（1）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请证明

Answer 1

你好，wuhao1995918：

证明：
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形
理由如下：
∵O是AC的中点
∴AO＝OC
∵CE平分∠BCA
∴∠BCE＝∠ECO
∵MN‖BC
∴∠BCE＝∠CEO
∴∠ECO＝∠CEO
∴OE＝OC
同理，得：OF＝OC
∴OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形

∵∠ECO＝1/2∠BCA
∠OCF＝1/2∠ACD
且∠BCA＋∠ACD＝180°
∴∠ECF
＝∠ECO＋∠OCF
＝1/2∠BCA＋1/2∠ACD
＝1/2(∠BCA＋∠ACD)
＝1/2×180°
＝90°
∴四边形AECF是矩形

Answer 2

当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形
证明：∵O为AC中点
∴AO=OC
∵EC平分∠ACE,CF平分∠ACD
∵MN‖BC
∴∠OEC=∠ACE,∠ACF=∠AFC
∴EO=OC,OF=OC
∴EO=OC
∴EF,AC互相平分
∴平行四边形AECF
∵∠ACB+∠ACD=180°
∴∠ACE+∠ACF=90°
∴矩形AECF

还能把AECF当成矩形，证明O为AC中点

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