Question

a，b，c为实数。证明：（a＋b＋c）＾2，（a＋b－c）＾2，（b＋c－a）＾2，（c＋a－b）＾2这四个代数值中

a，b，c为实数。证明：（a＋b＋c）＾2，（a＋b－c）＾2，（b＋c－a）＾2，（c＋a－b）＾2这四个代数值中至少有一个不小于a＾2＋b＾2＋c＾2的值，也至少有一个不大于a＾2＋b＾2＋c＾2的值。

Answer 1

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc (1)
(a+b-c)²=a²+b²+c²+2ab-2ac-2bc (2)
(a-b+c)²=a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc (3)
(-a+b+c)²=a²+b²+c²-2ab-2ac+2bc (4)
分别减a²+b²+c²
（1）=2ab+2ac+2bc
（2）=2ab-2ac-2bc
（3）=-2ab+2ac-2bc
（4）=2ab-2ac+2bc
令（1）， （2），（3）， （4）同时大于0
则ab＞-2ac-2bc
且ab＞+2ac+2bc
且ab＞-2ac+2bc
且ab＞+2ac-2bc
且ac＞-ab-ac
...
且bc＞-2ac-2ab
...
a, b, c 不同时为0时
以上结果相互矛盾，所以这四个代数值中至少有一个不大于a²+b²+c²

令（1）， （2），（3）， （4）同时小于0
可证这四个代数值中至少有一个不小于a²+b²+c²

Answer 2

全小于
(a+b+c)^2+(a+b-c)^2+(c+a-b)^2+(c+b-a)^2<4(a^2+b^2+c^2)
展开4（a^2+b^2+c^2)<4(a^2+b^2+c^2)
显然不成立同理全大于也不成立

Answer 3

敢不敢用反证法？？？？