Question

求证：cos(α+β)+cos(α+2β)+……+cos(α+nβ)=sin(nβ/2)*cos[α+(n+1)*β/2]/sin(β/2)

Answer 1

证明：由积化和差公式，sinAcosB
=
(1/2)[sin(A+
B)
+
sin(A
–
B)]，所以sin(β/2)cos(α
+
kβ)
=
(1/2)[sin(α
+
β/2
+
kβ)
+
sin(-α+
β/2
–
kβ)]
=
(1/2)[sin(α
+
β/2
+
kβ)
–
sin(α
–
β/2
+
kβ)]
=
(1/2){sin[α
–
β/2+
(k
+
1)β]
–
sin(α
–
β/2
+
kβ)}，因此sin(β/2)[cos(α
+
β)
+
cos(α
+
2β)
+……+
cos(α+
nβ)]
=
(1/2){sin(α
+
3β/2)
–
sin(α
+
β/2)
+
sin(α
+
5β/2)
–
sin(α
+
3β/2)
+……+sin[α
–
β/2
+
(n
+
1)β]
–
sin(α
–
β/2
+
nβ)}
=
(1/2){sin[α
–
β/2
+
(n
+
1)β]
–
sin(α+
β/2)}
①；
由和差化积公式，sinA
–
sinB
=
2cos[(A
+
B)/2]sin[(A
–
B)/2]，所以①式
=
(1/2)*2cos[α
+
(n
+
1)β/2]sin[-β/2
+
(n
+
1)β/2]
=
cos[α
+
(n
+
1)β/2]sin(nβ/2)，即sin(β/2)[cos(α
+
β)
+
cos(α
+
2β)
+……+
cos(α
+
nβ)]
=
cos[α
+
(n
+
1)β/2]sin(nβ/2)，所以cos(α
+
β)
+
cos(α
+
2β)
+……+
cos(α
+
nβ)
=
sin(nβ/2)cos[α+
(n
+
1)β/2]/sin(β/2)
，得证。