Question

已知三角形ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF

1证明B,D,H,E四点共圆
2证明CE平分∠DEF

Answer 1

1，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠ACB＝120°，
∴ 1/2∠BAC＋1/2∠ACB＝60° 即∠DAC＋∠EAC＝60°
∴∠AHE＝60°＝∠ABC
∴B,D,H,E四点共圆
2，连结BH则∠HBD＝1/2∠ABC＝30°
∴∠HED＝HBD＝30°（同弧所对的圆周角相等）
设AD交EF于G
∵AE＝AF，AG平分∠BAC
∴ AG⊥EF，∠EGH＝90°
∴∠CEG＝90°－∠AHE＝30°＝HED
即CE平分∠DEF

Answer 2

1.∵∠DBH=∠C+1/2∠A,∠BED=∠A+1/2∠C,∴∠DBH+∠BED=3/2(∠A+∠C)=3/2(180°-60°)=180°∴B,D,H,E四点共圆
2.∵∠AE=AF,AD是∠A角平分线∴AD垂直于EF,又∵B,D,H,E四点共圆∴
∠EHA=∠B=60°∴∠FEC=90°-60°=30°，∠DEC=∠DBH=1/2∠B=30°（∴CE是∠DEF的角平分线，∴CE平分∠DEF