Question

线性代数：β=(1,2,1,1),a1=(1,1,1,1),……把向量β表示成向量组a1,a2,a3,a4的线性组合.。

Answer 1

1)向量组a1,a2,a3是线性无关
用反证法
若a1,a2,a3是线性相关
那么存在不全为零的实数x,y,z使得
xa1+ya2+za3=0
即xa1+ya2+za3+0a4=0
因为x,y,z,0中至少有一个不为0，所以a1,a2,a3,a4是线性相关
矛盾。
所以a1,a2,a3是线性无关
2)
考虑线性相关的情形，剩余的就是线性无关的
若a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性相关
则存在不全为0的实数x,y,z使
x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（ma3+a1)=0
整理得
(x+z)a1+(x+y)a2+(y+mz)a3=0
有基定理得
x+z=0
<1>
x+y=0
<2>
y+mz=0
<3>
由<1><2>得
y=z
代入<3>得
y(m+1)=0
即y=0或m=-1
而y=0是x=y=z=0，不符合要求
所以m=-1时a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性相关
因此m不等于-1时a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关

Answer 2

把这4个向量排成转置矩阵
2　
1　
-1　1
1　
2　
1　
1
3　
0　
-3　1
1　
1　
0　
1
作行初等变换（#是主元）
2　
1　
-1　1#　*主行不变
-1　1　
2　
0　
这行－第1行
1　
-1　-2　0　
这行－第1行
-1　0　
1　
0　
这行－第1行
————
3　
0　
-3　1　
这行－第2行
-1　1#　2　
0　
*主行不变
0　
0　
0　
0　
这行＋第2行
-1　0　
1　
0　
这行不变
————
0　
0　
0　
1　
这行＋第4行×3
1　
1　
0　
0　
这行－第4行×2
0　
0　
0　
0　
这行不变
-1　0　
1#　0　
*主行不变得知：最大无关组：a2,a3,a4
a1=a2-a3