Question

（2013?衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．（

Answer 1

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，

AB＝BC
∠ABE＝∠BCF
∠AEB＝∠BFC
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4-x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴
DM
AP
=
PD
BA
，
即
DM
4?x
=
x
4
，
∴DM=
x(4?x)
4
=x-
1
4
x2，
当x=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．