Question

（2，0，0）（3，2，3）（-3，0，-1）这个矩阵的特征值求出来了是-1跟2 想问一下特征向量是多少呢

然后这个矩阵可以对角化吗。可以的话对角矩阵的p矩阵怎么求啊

Answer 1

所以A的全部特征值为λ1=-1，λ2=λ3=2。

将λ1=-1代入(λ1E-A)X=O，求出基础解系包含的解向量。

令ξ1=[0，-1，1]T，所以属于特征值-1的全部特征向量为kξ1（k≠0）。

同理将λ2=λ3=2代入(λ2E-A)X=O，求得解向量为ξ2=[0，1，0]T，ξ3=[-1，0，1]T，所以属于特征值-1的全部特征向量为t1ξ1+t2ξ2（t1，t2≠0）。

这道题-1为一重特征值，2为二重特征值，重数之和为3；(λ1E-A)X=O的基础解系含有1个向量，(λ2E-A)X=O含有2个向量，个数之和为3。重数与向量个数相等，所以A可以对角化。

P矩阵就是[ξ1，ξ2，ξ3]，对应的对角矩阵为diag{λ1，λ2，λ3}。

Answer 2

|λE-A| =
|λ-2 0 0|
|-3 λ-2 -3|
| 3 0 λ+1|
= (λ+1)(λ-2)^2, 特征值 λ = -1， 2， 2.
对于 λ = -1， λE-A =
[-3 0 0]
[-3 -3 -3]
[ 3 0 0]
初等行变换为
[ 1 0 0]
[ 0 1 1]
[ 0 0 0]
得特征向量 (0, 1, -1)^T;
对于 λ = 2， λE-A =
[ 0 0 0]

[-3 0 -3]
[ 3 0 3]
初等行变换为
[ 1 0 1]
[ 0 0 0]
[ 0 0 0]
得特征向量 (0, 1, 0)^T, (1, 0, -1)^T.
矩阵 A 可以对角化。取 P =
[ 0 0 1]
[ 1 1 0]
[-1 0 -1]
可使得 P^(-1)AP = diag(-1, 2, 2)