Question

高二几何。

如图，正方体ABCD---A1B1C1D1
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；

①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；

②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；

怎么证明这两个正确或错误。

Answer 1

① 正确 因为BC1‖AD1 所以BC1‖面AD1C 所以BC1上的点到面AD1C的距离都相等 所以以△AD1C为底 高都相等 所以体积都相等
② 错误 因为BC1上的点到面AD1C的距离都相等 但是点A到BC1在面AD1C上的投影的点不都相等
(到定点距离相等的点的轨迹是圆 显然BC1在面AD1C上的投影是直线 所以这些角的正切值不都相等 当然角就不相等

Answer 2

1,正确。 因为 BC1平行于AD1 所以 BC1平行于 面AD1C，所以 BC1上的点到面AD1C的距离都相等；所以 三棱锥A－D1PC的底面积 高均不变，故其体积不变。
2，错误。可做面AD1C的法向量（如取DB1） AP与其法向量的夹角随P的移动而改变，故AP与面的夹角也在改变。