Question

概率论中协方差与相关系数的关系

Answer 1

协方差计算公式为：COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。
随机变量X和Y的（线性）相关系数ρ(X,
Y)
=COV(X，Y)/(√D(X)*√D(Y))，
D(X)=Var(X)为X的方差。
X、Y的联合概率密度函数为：
f(x,
y)=
2,
0<x<y<1;
0,
其它。
X的密度函数为f1(x)=int(f(x,
y),
y=x..1)=2(1-x)，
int(f(x,
y),
y=x..1)表示对函数f(x,
y)积分，积分变量为y，y范围是x到1。（下同）。因为在文本状态下写积分实在太麻烦了。
Y的密度函数为f2(y)=int(f(x,
y),
x=0..y)=2y，
E(X)=int(f1(x)*x,
x=0..1)=1/3，
E(Y)=int(f2(y)*y,
y=0..1)=2/3，
D(X)=int(f1(x)*(x-E(X))^2,
x=0..1)=int((x-1/3)^2*2*(1-x),
x=0..1)=1/18，
D(Y)=int(f2(y)*(y-E(Y))^2,
x=0..1)=int((y-2/3)^2*2*y,
y=0..1)=1/18，
E(XY)=int(int(x*y*f(x,y),
y=x..1),
x=0..1)=1/4，
COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/4-1/3*2/3=1/36，
ρ(X,
Y)
=COV(X，Y)/(√D(X)*√D(Y))=1/36/sqrt(1/18*1/18)=1/2