Question

平面几何!!!

M 是三角形A B C 内一点，过M 的任一直线交A B 边于点P ，交A C 边于点Q ，且满足( A B / A P ) + ( A C / A Q ) = 3 ，那么M 一定是三角形A B C 的什么心？

Answer 1

M是三角形ABC的重心（中心）
取特殊位置PQ//BC来看，当M为重心时( A B / A P )= ( A C / A Q ) = 3/2

追问

能证明嘛?

追答

能证明，直说思路…
就是利用重心分中线为1:2，然后用平行线分线段成比例来证。
要不用特殊的位置证明的话，可以使用同一法来证明，就是先假设M'为重心，然后证明M'满足题目要求，说明M'与M是同一点，即得证…

Answer 2

任意直线可以绕M点旋转，当P点与B重合时，
( A B / A P ) + ( A C / A Q ) = 3 化成AC＝2AQ，即Q为AC中点，BQ为中线；
当Q与C重合时，同理CP为中线，所以M只能是重心。

反之，当M为重心时，作中线AD并延长，作过M点的任意直线PQ的平行线BE，CF，
E，F在直线AD上，则A B / A P＝AE/AM，AC /AQ=AF/AM，
（A B / A P）+（AC /AQ）＝（AE+AF)/AM，要证它等于3.
用三角形全等易得D是EF的中点，AE+AF＝2AD，
再用重心定理，2AD＝3AM，证毕！

追问

还是觉得太特殊化了。还能用普遍点的想法嘛？

追答

用特殊位置定M点位置是个快捷的办法。
如果只利用上面第二段那种辅助线，不假定M是重心，可设PQ交中线AD于点K，
然后一样作PQ的平行线BE，CF，得到AE+AF＝3AK，即2AD＝3AK，由此可证K为重心。
这样就不用第一段了。具体地说，PQ可绕M点转动，而始终过重心K，所以M与K重合。

Answer 3

我觉得可以用特殊三角形的方法来理解上两位朋友的解答：
假设abc是等边三角形，p或q点与b或c重合，按公式计算，满足答案=3.