Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC． （1）求证：△ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y＝S1－S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式．

Answer 1

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC． （1）求证：△ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与闹和如AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y＝S1－S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式．
如图 在平面直角坐标系xoy中,一次函数y=√3x+3√3的图像与x轴交于点A，与棚举y轴交于点B，点C的坐标为（3、0），连接BC。
（1）求证：△ABC是等边三角形；
一次函数y=√3x+3√3与x轴的交点的横坐标即y=0时的x值
√3x+3√3=0
所以，x=-3
则点A(-3,0)
一次函数与y轴的交点的纵坐标即x=0时候的y值
所以，y=√3*0+3√3=3√3
所以，点B(0,3√3)
已知点C(3,0)
所以，AC=|-3-3|=6
由勾股定理得到：BC^2=BO^2+OC^2=(3√3)^2+3^2=27+9=36
所以，BC=6
同理，AB=6
所以，△ABC是边长为6的等边三角形。

（2）点P在线段BC的延长线上，连接AP，AP的垂直平分线交y轴于点E，分别连接EA、EC、EP。
①若CP=6，直接写出∠AEP的度数；
∠AEP=120°

②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；
设线段AP的垂直平分线为EG，点G就是AP中点
连接OG
因为点O为AC中点
所以，OG为△APC的中位线
所以，OG//PC
所以，∠GOC=∠BCO=60°
因为∠AOE=90°，∠AGE=90°
所以，点A、O、G、E都在以AE为直径的圆上（图中蓝色圆）
则，∠GOC=∠AEG=60°
已知EG为AP垂直平分线
所以，EA=EP
而，EG⊥AP
所以，EG为∠AEP的角平分线
所以，∠AEP=2∠AEG=2*120°=120°
即说明，无论点P在BC的延长线上怎么运动，∠AEP始终等于120°

（3）在（2）的条件下，若点P从C出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度，EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y=S1－S2,运动时间为t（t＞0)秒时，求y关液启于t的函数关系式。
设△AFC的面积为S
过点P做x轴垂线，垂足为H
设运动时间为t，则CP=t
已知△ABC为等边三角形，所以：∠PCH=∠BCA=60°
所以，CH=t/2，PH=(√3t)/2
那么，点P的坐标为P(3+(t/2),-(√3t/2))
即：P((t+6)/2,(-√3t)/2)
已知点A(-3,0)
所以，由两点间距离公式有：PA^2=[(t+6)/2+3]^2+[(-√3t)/2-0]^2=[(t+12)/2]^2+(3t^2/4)
=(t^2+24t+144)/4+(3t^2/4)
=t^2+6t+36
所以，AG=PA/2=√(t^2+6t+36)/2
而在Rt△AGE中，由前面知∠AEG=60°
所以，AE=AG/(√3/2)=√[(t^2+6t+36)/3]
所以，AE^2=(t^2+6t+36)/3
又，在Rt△AOE中由勾股定理得到：OE^2=AE^2-A0^2
=(t^2+6t+36)/3-9
=(t^2+6t+9)/3
所以，OE=√[(t^2+6t+9)/3]
那么，△ACE的面积=(1/2)*AC*OE=(1/2)*6*√[(t^2+6t+9)/3]
=√(3t^3+18t+27)=△ACF面积+△AEF面积
即：S+S1=√(3t^2+18t+27)………………………………（1）
而，△ACP的面积=(1/2)*AC*PH=(1/2)*6*(√3t/2)
=3√3t/2=△ACF面积+△PCF面积
即：S+S2=(3√3t)/2………………………………………（2）
(1)-(2)得到：
y=S1-S2=√(3t^2+18t+27)-(3√3t)/2（t＞0）

Answer 2

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC． （1）求证：△ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与闹和如AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y＝S1－S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式．
如图 在平面直角坐标系xoy中,一次函数y=√3x+3√3的图像与x轴交于点A，与棚举y轴交于点B，点C的坐标为（3、0），连接BC。
（1）求证：△ABC是等边三角形；
一次函数y=√3x+3√3与x轴的交点的横坐标即y=0时的x值
√3x+3√3=0
所以，x=-3
则点A(-3,0)
一次函数与y轴的交点的纵坐标即x=0时候的y值
所以，y=√3*0+3√3=3√3
所以，点B(0,3√3)
已知点C(3,0)
所以，AC=|-3-3|=6
由勾股定理得到：BC^2=BO^2+OC^2=(3√3)^2+3^2=27+9=36
所以，BC=6
同理，AB=6
所以，△ABC是边长为6的等边三角形。

（2）点P在线段BC的延长线上，连接AP，AP的垂直平分线交y轴于点E，分别连接EA、EC、EP。
①若CP=6，直接写出∠AEP的度数；
∠AEP=120°

②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP的度数；
设线段AP的垂直平分线为EG，点G就是AP中点
连接OG
因为点O为AC中点
所以，OG为△APC的中位线
所以，OG//PC
所以，∠GOC=∠BCO=60°
因为∠AOE=90°，∠AGE=90°
所以，点A、O、G、E都在以AE为直径的圆上（图中蓝色圆）
则，∠GOC=∠AEG=60°
已知EG为AP垂直平分线
所以，EA=EP
而，EG⊥AP
所以，EG为∠AEP的角平分线
所以，∠AEP=2∠AEG=2*120°=120°
即说明，无论点P在BC的延长线上怎么运动，∠AEP始终等于120°

（3）在（2）的条件下，若点P从C出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度，EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，y=S1－S2,运动时间为t（t＞0)秒时，求y关液启于t的函数关系式。
设△AFC的面积为S
过点P做x轴垂线，垂足为H
设运动时间为t，则CP=t
已知△ABC为等边三角形，所以：∠PCH=∠BCA=60°
所以，CH=t/2，PH=(√3t)/2
那么，点P的坐标为P(3+(t/2),-(√3t/2))
即：P((t+6)/2,(-√3t)/2)
已知点A(-3,0)
所以，由两点间距离公式有：PA^2=[(t+6)/2+3]^2+[(-√3t)/2-0]^2=[(t+12)/2]^2+(3t^2/4)
=(t^2+24t+144)/4+(3t^2/4)
=t^2+6t+36
所以，AG=PA/2=√(t^2+6t+36)/2
而在Rt△AGE中，由前面知∠AEG=60°
所以，AE=AG/(√3/2)=√[(t^2+6t+36)/3]
所以，AE^2=(t^2+6t+36)/3
又，在Rt△AOE中由勾股定理得到：OE^2=AE^2-A0^2
=(t^2+6t+36)/3-9
=(t^2+6t+9)/3
所以，OE=√[(t^2+6t+9)/3]
那么，△ACE的面积=(1/2)*AC*OE=(1/2)*6*√[(t^2+6t+9)/3]
=√(3t^3+18t+27)=△ACF面积+△AEF面积
即：S+S1=√(3t^2+18t+27)………………………………（1）
而，△ACP的面积=(1/2)*AC*PH=(1/2)*6*(√3t/2)
=3√3t/2=△ACF面积+△PCF面积
即：S+S2=(3√3t)/2………………………………………（2）
(1)-(2)得到：
y=S1-S2=√(3t^2+18t+27)-(3√3t)/2（t＞0）