讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+(lnx)^4的交点个数，其中k为参数
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2024-10-28 广告
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显然x>0
令f(x)=4x+(lnx)^4-4lnx-k
易知f'(x)=4+4(lnx)^3/x-4/x=4[x+(lnx)^3-1]/x
令x+(lnx)^3-1=0
则x=1（取特征值）
当0<x<1时f'(x)<0，f(x)递减
当x>1时f'(x)>0，f(x)递增
表明x=1为f(x)的最小值点
即f(x)min=f(1)
若f(1)>0
即4-k>0，即k<4
则f(x)与x轴无交点
即f(x)无零点
即4x+(lnx)^4-4lnx-k=0无解
即曲线y=4lnx+k与y=4x+(lnx)^4的交点个数为0
若f(1)=0
即4-k=0，即k=4
则f(x)与x轴恰好相切
即f(x)有一个零点
即4x+(lnx)^4-4lnx-k=0有一个解
即曲线y=4lnx+k与y=4x+(lnx)^4的交点个数为1
若f(1)<0
即4-k<0，即k>4
则f(x)与x轴有两个交点
即f(x)有两个零点
即4x+(lnx)^4-4lnx-k=0有两个解
即曲线y=4lnx+k与y=4x+(lnx)^4的交点个数为2
综上：
当k<4，两曲线有0个交点
当k=4，两曲线有1个交点
当k>4，两曲线有2个交点
令f(x)=4x+(lnx)^4-4lnx-k
易知f'(x)=4+4(lnx)^3/x-4/x=4[x+(lnx)^3-1]/x
令x+(lnx)^3-1=0
则x=1（取特征值）
当0<x<1时f'(x)<0，f(x)递减
当x>1时f'(x)>0，f(x)递增
表明x=1为f(x)的最小值点
即f(x)min=f(1)
若f(1)>0
即4-k>0，即k<4
则f(x)与x轴无交点
即f(x)无零点
即4x+(lnx)^4-4lnx-k=0无解
即曲线y=4lnx+k与y=4x+(lnx)^4的交点个数为0
若f(1)=0
即4-k=0，即k=4
则f(x)与x轴恰好相切
即f(x)有一个零点
即4x+(lnx)^4-4lnx-k=0有一个解
即曲线y=4lnx+k与y=4x+(lnx)^4的交点个数为1
若f(1)<0
即4-k<0，即k>4
则f(x)与x轴有两个交点
即f(x)有两个零点
即4x+(lnx)^4-4lnx-k=0有两个解
即曲线y=4lnx+k与y=4x+(lnx)^4的交点个数为2
综上：
当k<4，两曲线有0个交点
当k=4，两曲线有1个交点
当k>4，两曲线有2个交点
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