Question

高中数学问题4

铁路AB长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公里，现要在AB某一点D处向C修一条公路，已知铁路每公里运费与公路运费之比为3/5，使原料从B到C运费最省，D应在何处

请写出详细过程

Answer 1

设DA＝x，则BD＝100－x，CD＝202＋x2＝√400＋x2

（由题意，每吨公里，铁路运费：公路运费=3：5→设3a：5a）
每吨公里：铁路BD的运费为3a，公路DC的运费为5a
则由B—D—C的运费y＝(10－x)•3a＋(√400＋x^2)•5a
＝a[(10－x)•3＋5(√400＋x^2)]
＝a(300＋(√400＋x^2)－3x)
令u＝5(√400＋x^2)－3x （*）
即(u＋3x)2＝5(√400＋x^2)，
两边平方u2＋6xu＋9x2＝25(400＋x2)，即16x2－6xu＋10000－u2＝0
∵△≥0，∴9u2－16(10000－u2)≥0，解得u≥80，
当u＝80，由（*）式x＝15，
∴当D距A，15公里时，B—D—C的运费最省.