Question

求证: ln(n+1)>2/3+2/5+...+2/2n+1 (n为正整数)

Answer 1

关键是要证明不等式:
ln(n+1)
-
ln(n)
>
2/(2n+1)
令f(x)
=
ln(x+1)
-
ln(x)
-
2/(2x+1)
求导，得
f'(x)
=
1/(x+1)
-
1/x
+
4/(2x+1)^2
=
4/(2x+1)^2
-
1/x(x+1)
=
[4x(x+1)
-
(2x+1)^2]/(2x+1)^2*x(x+1)
=
-1/x(x+1)(2x+1)^2
<
0
所以f(x)是单调减函数，而当x->正无穷时，
f(x)
=
ln(1+1/x)
-
2/(2x+1)
->
0
所以f(x)
>
0，对任意的x>0
由不等式ln(n+1)
-
ln(n)
>
2/(2n+1)
可以得到原来的结论