Question

已知函数若函数在区间上有极值,求实数的取值范围当,时,求证:(提示:证明,)

已知函数 若函数在区间上有极值,求实数的取值范围 当,时,求证:(提示:证明,)

Answer 1

函数在区间上有极值在上有根,结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点,.
结合函数在上的单调性可得,,利用该结论分别把,,,代入叠加可证.
解:,,
当时,;当时,;
函数在区间上为增函数;在区间为减函数,
当时,函数取得极大值,而函数在区间有极值.
,解得:,
函数在区间为减函数,而,
,
,
即,
,
,
而,
,结论成立.
本题考查函数存在极值的性质,函数与方程的转化,及利用函数的单调性证明不等式,要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用.