Question

三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系

Answer 1

1.外接圆半径R：
根据正弦定理以及余弦定理：
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R
a2＝2bc•cosA
可得：
cosA＝(b2＋c2－a2)／2bc
∵ sin2A＋cos2A＝1,∠A∈（0,180°）
∴ sinA＝√(1－cos2A)
＝√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)] / (2bc)
代入正弦定理a/sinA＝2R,得：
R＝2abc /√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)]
（三角形外接圆半径与三边边长、面积的关系可推导得：R=abc/4S）
2.内接圆半径r：
∵ r=2S/(a+b+c) (S是三角形面积)
且根据众所周知的秦九韶—海伦公式,
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
∴ r=2√[p(p-a)(p-b)(p-c)] /(a+b+c)
3.三角形外接圆半径、内接圆半径与三边边长的关系可表示为：
R*r=(abc/4S)*[2S/(a+b+c)]=abc/2(a+b+c)
说明：
外接圆半径是指三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的交点到三个顶点的距离；
内接圆半径是指三角形三条边上的高线的交点到三条边的距离.