Question

椭圆方程的推导过程

Answer 1

椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的集合（或轨迹）为椭圆，F1，F2称为椭圆的两个焦点．
设|F1F2|=2c（c＞0），定值为2a（a＞0），且a＞c＞0，
取F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系，设动点M（x，y），则F1（-c，0），F2（c，0），
由已知条件，得|MF1|+|MF2|=2a，
∴
(x+c)2+y2
+
(x−c)2+y2
＝2a，
化简，整理得
x2
a2
+
y2
a2−c2
＝1，
∵a＞c＞0，∴令a2-c2=b2，（b＞0），
则有
x2
a2
+
y2
b2
＝1，（a＞b＞0）．
∴焦点在x轴的椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
＝1，（a＞b＞0）．
如果取F1F2所在的直线为y轴，则椭圆的标准方程为
y2
a2
+
x2
b2
＝1（a＞b＞0）．