Question

函数问题，求数学大侠指点

若f(x)满足对任意x>0总有f(x)>2,对任意x,y总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2.证明f(x)在R上递增

Answer 1

解：设x1<x2, 则f(x2-x1)>2
所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-2>2-2+f(x1)
所以f(x)在R上递增

追问

佩服。你数学肯定很厉害，我能请教你一些数学方面的东西么？我是高三的，Q Q524158583，谢谢。

Answer 2

解：对任意x,y总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2,
所以f(x＋y)-f(x)＝f(y)-2.
当y>0时，f(y)>2，即f(y)-2>0.
又x+y>x,总有f(x＋y)-f(x)>0，所以，f(x)在R上递增。

Answer 3

2f(0)=f(0)+2,f(0)=2,f(x)+f(-x)=f(0)+2=4
f(y)-f(x＋y)=2-f(x),当x>0,f(y)-f(x＋y)<0,f(y)<f(x＋y),因为y<x+y,所以递增
当x<0,-x>0,f(-x)>2,所以f(y)-f(x＋y)=-f(x)+2=f(-x)+2-4>0，f(y)>f(x＋y),因y>x+y,所递增