求微分方程的通解
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求微分方程 (dy/dx)-(4/x)y=x√y 的通解；(x>0，y>0)
解：方程两边同除以√y得：(1/√y)(dy/dx)-(4√y)/x=x...........①
先求齐次方程 (1/√y)(dy/dx)-(4√y)/x=0的通解。
分离变量得：dy/y=(4/x)dx；积分之得：lny=4lnx+lnc=ln(cx^4);
故得齐次方程的通解为：y=cx^4；将c换成x的函数u，得 y=ux^4............②
取导数得：dy/dx=(du/dx)x^4+4ux³.............③
将②③代入①式并化简得：(x²/√u)(du/dx)=x ；
分离变量得：du/√u=dx/x；积分之得：2√u=lnx+lnc=ln(cx);
故u=(1/4)ln²(cx)；代入②式即得原方程的通解为：y=[(x^4)/4]ln²(cx);
解：方程两边同除以√y得：(1/√y)(dy/dx)-(4√y)/x=x...........①
先求齐次方程 (1/√y)(dy/dx)-(4√y)/x=0的通解。
分离变量得：dy/y=(4/x)dx；积分之得：lny=4lnx+lnc=ln(cx^4);
故得齐次方程的通解为：y=cx^4；将c换成x的函数u，得 y=ux^4............②
取导数得：dy/dx=(du/dx)x^4+4ux³.............③
将②③代入①式并化简得：(x²/√u)(du/dx)=x ；
分离变量得：du/√u=dx/x；积分之得：2√u=lnx+lnc=ln(cx);
故u=(1/4)ln²(cx)；代入②式即得原方程的通解为：y=[(x^4)/4]ln²(cx);
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