Question

不定积分 证明题

如图片里老师讲的板书,
现在问:
∫1(x)dx±∫2(x)dx 的任意常数项在哪里,
请答题者讲简单明了一点,我还是学生.
回答的好的,多加分.

Answer 1

解：不妨设f1(x)，f2(x)的原函数分别是F1(x), F2(x).
设C,C1,C2是常数。
于是：∫f1(x)dx+∫f2(x)dx=(F1(x)+C1)+(F2(x)+C2)
=F1(x)+F2(x)+(C1+C2)
因此，C1+C2也是任意常数，不妨看成C, 也就是说这两个不定积分加在一起，已经含有任意常数C1+C2=C了。
减法无非是常数为C1-C2=C, 道理是一样的。

Answer 2

设F1(x)=∫f1(x)dx, F2(x)=∫f2(x)dx
则F'1(x)=f1(x),F'2(x)=f2(x), f1(x)±f2(x)=F'1(x)±F'2(x)=【F1(x)±F2(x)]'
所以 F1(x)±F2(x)=∫(f1(x)±f2(x)）dx
即 ∫f1(x)dx±∫f2(x)dx =∫(f1(x)±f2(x)）dx
常数就包含在符号不定积分符号∫中，不必写出来，除非没有此符号才写出，ok？