Question

已知△ABC三内角∠A,∠B,∠C,的对边分别是a,b,c,且c=2,∠C=60°，若△ABC的面积等于√3，求a,b

若sinB=2sinA,求三角形ABC的面积

Answer 1

（1）△ABC的面积等于√3，则1/2absinC=√3，因为sinC=sin60°=√3/2
则ab=4
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC
则2²=a²+b²-8×1/2
所以a²+b²=8
则(a+b)²=a²+b²+2ab=8+8=16,所以a+b=4①
又(a-b)²=a²+b²-2ab=8-8=0,所以a-b=0②
①②联立，解得a=b=2
（2）若sinB=2sinA
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
则a/sinA=b/2sinA=2/sin60°
所以a=4/√3*sinA，b=8/√3*sinA
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC
则2²=16/3sin²A+64/3sin²A-64/3sin²A*1/2
所以4=16sin²A
所以sin²A=1/4
所以sinA=1/2
所以a=4/√3*sinA=2/√3，b=8/√3*sinA=4/√3
所以三角形ABC的面积=1/2absinC=1/2×2/√3×4/√3×√3/2=2/√3=2√3/3

Answer 2

1/2absin60=3^(1/2)
ab=4
cos60=(a^2+b^2-4)/2ab
a^2+b^2=8
a=2
b=2

Answer 3

解：第一问
由三角形面积公式 S=1/2absinC，将 S=√3，C=60度代入得 ab=4；
又由余弦定理 c²=a²+b²-2abcosC，将c=2，C=60度，ab=4代入得 a²+b²=8；
联立 ab=4，a²+b²=8 ，解得 a=b=2。
第二问
由正弦定理知 a/sinA=b/sinB，则 sinB/sinA=b/a；
又由 sinB=2sinA，得到 b/a=2，b=2a；
则 由余弦定理 c²=a²+b²-2abcosC，将c=2，b=2a，C=60度代入解得
a=2√3/3，则 b=4√3/3；
S=1/2absinC=1/2*2√3/3*4√3/3sin60度=2√3/3。