Question

4．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实根．第三边BC长为5．

（1）k为何值，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
（2）k为何值，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
4．解析：设AB，AC长分别为a，b，则a+b=2k+3，ab=k2+3k+2=（k+1）（k+2）
∴ 或 不妨设a=k+1，b=k+2．
∵a2+b2=552，
∴k2+2k+1+k2+4k+4=25．
∴k=2或k=-5．∵k+1>0，k+2>0，
∴k只能取2．
（2）△ABC为等腰三角形，若AB=AC，则a=b，k+1=k+2不成立．
∴必是AB，AC中某一条与BC相等，即5是方程的一根．
若k+1=5，k=4. ...1三角形三边5，5，6，周长为16
若k+2=5，k=3，...2三角形三边为5，5，4，周长为14
当将k=3与k=4带入原方程解方程，会得到一个5的解，为什么不用这个解

Answer 1

x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0 运用求根公式得x=[-b±√(b²-4ac)]/2a=k+2或k+1
所以△ABC的两边AB,AC长一个为k+1,一个为k+2

（k+2）+(k+1)=2k+3>5 k>1

追问

看问题补充

追答

x=5为什么不用这个解 什么意思？

追问

会有一个x=5的解，为什么没有C=5+5+5=15？

追答

AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实根
所以 X1=5是其中一边 X2=4是另一边 同时成立 不存在AB，AC两边都为5

Answer 2

因为x^2-（2k+3）x+k^2+3k+2=x^2-（2k+3）x+(k+1)(k+3)=[x-(k+1)][x-(k+3)]
所以[x-(k+1)][x-(k+3)]=0两个根x1=k+1,x2=k+2.也就是△ABC的两边AB,AC长有一个k+1,有一个k+2
三角形三条边知道了要求什么？

追问

看问题补充

Answer 3

20若AB=BC=5时，5是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的实数根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．

由（1）知，无论k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3，当k=3时，AB+AC=9，则周长是9+5=14；
当k=4时，AB+AC=8+3=11．则周长是11+5=16．