Question

∑{[n!(a^n)]/(n^n)}其中n从1到正无穷，a>0,用笔直判别法判别级数收敛性

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

由比值判别法得
以下全为lim
n->无穷
(u_n+1)/(u_n)=
[(n+1)!a^(n+1)/(n+1)^(n+1)]/[n!(a^n)]/(n^n)
=a(n/n+1)^n
下面求出(n/n+1)^n的极限
lim
(n/n+1)^n
=lime^nln(n/n+1)
=e^lim
ln(1-1/(n+1))/(1/n)
=e^lim(-n/n+1)=1/e
所以lim
u_n+1/u_n=a/e
因为a>0
所以
当a<e，比值<1原级数收敛
当a>e,比值>1,原级数发散
当a=e
时，散敛性不确定