Question

高数：请问这一步为何不直接求导呢？附答案

题中已经说了f(x)二阶可导， 为何划线部分求极限不用洛必达法则，分子、分母直接求导呢？这样就可以一步到位了， 却使用了导数的定义

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Answer 1

因为x=0是端点，不知道x=0是否连续

Answer 2

我觉得你说的对，直接用罗比达法则更快

Answer 3

g(x)

=f(x)/x ; x≠0
=a ; x=0
(I)
lim(x->0) g(x)
=lim(x->0) f(x)/x
=f'(0)
=> a= f'(0) , x=0, g(x) 连续
(II)
g'(x)
=lim(h->0) [g(x+h) -g(x) ]/h
=lim(h->0) [f(x+h)/(x+h) -g(x) ]/h
=lim(h->0) [f(x+h)/(x+h) -f(x)/x ]/h
=lim(h->0) [xf(x+h)-(x+h)f(x)]/[hx(x+h)]
=(1/x^2) lim(h->0) [xf(x+h)-(x+h)f(x)]/h (0/0 分子分母分别求导)
=(1/x^2) lim(h->0) [xf'(x+h)-f(x)]
=(1/x^2) [xf'(x)-f(x)]
x=0, g'(x) 不连续

Answer 4

二阶可导不一定连续，f''(x)当x趋于零时，不一定是f''(0)的值。用二阶导数定义是可以的。
即lim(x－＞0)f''(x)=f''(0)可能不对，因为f''(x)的连续性未知。