Question

高一数学 向量

D\E\F分别是三角形ABC三边AB\BC\CA上的动点，且在t=0时（初始时刻）分别从A\B\C出发，各以一定的速度沿各边向B\C\A移动，当t=1时，分别到达B\C\A.
求证：在0<=t<=1任意时刻t，三角形DEF的重心不变

Answer 1

设△ABC的重心为G,则向量AG+BG+CG=0.
依题意，向量AD=tAB,BE=tBC,CF=tCA,
∴向量DG+EG+FG
=DA+AG+EB+BG+FC+CG
=-tAB-tBC-tCA
=-t(AB+BC+CA)
=0,
∴G是△DEF的重心，即△DEF的重心不变。