Question

这道定积分应用题我还是不会算，式子会列，就是不会算呀……

这道定积分应用题我还是不会算，式子会列，就是不会算呀……求解

Answer 1

由对称性,先求出在第一象限的面积
第一象限内的交点坐标为(2,2),在x∈[0,2]上,圆总在抛物线上方,所以列式
S1=∫[0→2](√(8-x²)-x²/2)dx
=x/2*√(8-x²)+4arcsin(x/2√2)-x³/6|[0,2]
=2/3+π

Answer 2

两曲线交点：(-2,2)、(2,2)
x^2+y^2=8
y=√(8-x^2)
∵两曲线均关于y
轴对称
∴一部分面积：S1=2∫(0,2)[√(8-x^2)-1/2x^2]dx
=2∫(0,2)√(8-x^2)dx-∫(0,2)x^2dx
=-1/3x^3|(0,2)
注：2∫(0,2)√(8-x^2)dx
令x=2√2sint
t=arcsinx/(2√2)
t1=arcsin0/(2√2)=0
t2=arcsin2/(2√2)=π/4
dx=2√2costdt
2∫(0,2)√(8-x^2)dx
=2∫(0,π/4)2√2cost(2√2cost)dt
=8∫(0,π/4)(1+cos
2t
)dt
=8t|(0,π/4)+4∫(0,π/4)cos2td(2t)
=8(π/4-0)+4sin2t|(0,π/4)
=2π-4(sin2π/4-sin0)
=2π-4
圆面积
：S=2π×8=16π
另一部分面积：S2=S-S1
=16π-(2π-4)
=14π+4