勾股数有哪些规律
我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:
1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：
根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征
其中，a=n+(n+1)=2n+1，
b=2n(n+1)=2n2 +2n，
c=2n(n+1)+1= 2n2 +2n+1，
容易验证：
(2n+1)2+(2n2 +2n)2=(2n2 +2n+1)2，
即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律
2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：
最短边为偶数时，
a=2(n+1)=2n+2，b=n2 +2n，c= n2 +2n+2，
容易验证：
(2n+2)2+(n2 +2n)2=(n2 +2n+2)2，
即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律
拓展资料
1、勾股定理的由来
勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
3、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
③可运用勾股定理解决一些实际问题。
最近搜索了“勾股数”、“本原勾股数”……，有大量作答。有正有误，有些作答相当复杂。早在1990年前，找到直角三角形三边的数量关系式，即a、b、c之间的依从关系表达式：
a=x＋√（2xy）
b=y＋√（2xy）
c =x＋y＋√（2xy）
依此得到直角三角形三边都是正整数的一般表达式：
a=m（m＋2n）
b=2n（m＋n）
c=2n（m＋n）＋m²
当：①m取 奇数
②n取自然数
③（m，n）=1时：
a、b、c经常给出一组本原勾股数。
来历：若a²＋b²=c²，则a＋b>c，故令：a＋b-c=d①，
依此得c-b=a-d②和c-a=b-d③，
再令：c-b=a-d=x，即a=x＋d④，
令：c-a=b-d=y，即b=y＋d⑤，把④、⑤代入①得：c=x＋y＋d⑥，
把④、⑤和⑥代入a²＋b²=c²
得：（x＋d）²＋（y＋d）²
=（x＋y＋d）²⑦，
展开左边：
（x²＋2xd＋d²）
＋（y²＋2yd＋d²）
=x²＋y²＋2d（x＋y）＋2d²，给此式加上（2xy-2xy），合并、整理得：
（x＋y＋d）²＋d²-2xy，用等号把左右两边连起来：
（x＋y＋d）²＋d^2-2xy
=（x＋y＋d）²，两边减去：
（x＋y＋d）²
得：d²-2xy=0，即d²=2xy观察知，x和y，其中一个取平方数，另一个取平方数的2倍，
则2xy为完全平方数，所以给x取m²，给y取2n²即：
d²=2xy=2m²×2n²，
d＝±√（4m²n²）＝±2mn
因此，d有2mn和-2mn两个根。通过检验，这两个根都满足勾股数表达式。在此，只讨论正根。
把x=m²、y=2n²代入直角三角形表达式：a=x+√（2xy）
b=y＋√（2xy）
c=x＋y＋√（2xy）
得：a=m²＋2mn
=m（m＋2n）
b=2n²＋2mn
=2n（m＋n）
c=m²＋2n²＋2mn
=m²＋2n（m＋n）
＝m（m+2n）+2n²
＝（m+n）²+n²
当： ① m取奇数
② n取自然数
③ （m，n）=1 时
此表达式不仅经常给出本原勾股数组，而且显示了勾股数组的一般规律。
表达式中m、n的三种取值范围如下（依此法所得勾股数组全属本原勾股数）：
① 当m取1，n取自然数时，表达式经常给出直角三角形最短边为奇数的勾股数组；
② 当n取1，m取不小于3的奇数时，表达式经常给出最短边为不小于8的偶数勾股数组；
③ 首先确定任意两个互质的数（若不互质，则得到派生勾股数），比如5、4，
（m，n）
第一对（5，4）；
第二对（5+2×4＝13，5+4＝9）；
第三对（13+2×9＝31，13+9＝22）；
……
（mi+1＝mi+2ni，ni+1＝mi+ni）
……
注：第一对的m必须是奇数！
如此所得一系列勾股数组，各组两直角边的差都相等，就是第一组|m²-2n²|。上面例子，a、b的差就是|5²-2×4²|=7；
|13²-2×9²|=|31²-2×22²|＝7。
“1”是个特殊数，非素数，亦非合数，（1，1）=1。所以n、m同时可取1。
以此法：（m，n）
第一对：（1，1）；
第二对（1+2×1＝3，1+1＝2）；
第三对：（3+2×2＝7，3+2＝5）；
第四对：（7+2×5＝17，7+5＝12）；
（41，29）；
（99，70）……
以上m、n的取值所得勾股数组依次是：
（3，4，5）；
（21，20，29）n；
（119，120，169）；
（697，696，985）；
（4059，4060，5741）；
（23661，23660，33461）……
|1²-2×1²|=|3²-2×2²|
=|7²-2×5²|＝……=|99²-2×70²|＝1。
两直角边（a、b）之差就是
|m²-2×n²|；
斜边c与两直角边a、b的差，非m²即2n²。这从表达式很直观：
a=m²＋2mn
b=2n²＋2mn
c=2n²＋2mn＋m²
依此法，从（1，1）起，m、n的取值越大，两直角边a、b的差距相对就越小，
即直角三角形越接近等腰直角三角形。
不能得出下面的趋势：
m²：2n²：2mn趋近于1：1：√2。
0＜2mn/（m²+2n²+2mn）＜√2-1
在以往对于直角三角形的研究、探讨中忽视了x、y以及√（2xy）的存在，猜想：在直角三角形的研究中，这三个量可能会有较大的帮助！比如：直角三角形的内切圆直径，就是x、y的给定值所对应的√（2xy）；内切圆圆心，到三顶点的距离，分别为√（xc）、√（yc）、和√（xy）。
大家所说的各种套路，只是在此表达式中，对m、n的不同取值而已。
比如两直角边的差，对于本原勾股数组来说，从小到大依次只能是1、7、17、23、31、41、47、49、71……不可能有这些数之间的数（派生勾股数组除外）。如果说套路，那套路就是无穷无尽了。起码以上列举的9个数，就是9个“套路”。
在对直角三角形的探讨中，因为x、y以及√（2xy）这三个量在三边都涉及到，又因为x、y的值确定时，√（2xy）随之产生，所以把x和y称之为勾股基，√（2xy）称之为勾股冠。
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
勾股数 - 特点
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
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