如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC,∠BAC=3觉DBC,BD=6倍根号2+6 5
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解：以点A为圆心，AB为半径画圆，作CF⊥BD，垂足为F，
∵AB=AC=AD，∴C、D两点都在⊙A上，
∵E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，
AE=EC=BE，AE⊥BC，
∴∠BAC=90°，
∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
又∵∠BAC=3∠DBC，
∴∠DBC=30°，
∠CAD=2∠DBC=60°，
△ACD为等边三角形，
设AB=AC=CD=x，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$x，
在Rt△BCF中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
同理，DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由DF+BF=BD，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$x=6$\sqrt{2}$+6$\sqrt{6}$
解得x=12，即AB=12．
∵AB=AC=AD，∴C、D两点都在⊙A上，
∵E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，
AE=EC=BE，AE⊥BC，
∴∠BAC=90°，
∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
又∵∠BAC=3∠DBC，
∴∠DBC=30°，
∠CAD=2∠DBC=60°，
△ACD为等边三角形，
设AB=AC=CD=x，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$x，
在Rt△BCF中，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
同理，DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由DF+BF=BD，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$x=6$\sqrt{2}$+6$\sqrt{6}$
解得x=12，即AB=12．
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