丨丨X丨-丨Y丨丨=<丨X-Y丨 证明过程
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证明如下:
﹣|X|≤X≤|X|
......①
﹣|Y|≤Y≤|Y|
......②
①+②得:﹣﹙|X|+|Y|)≤X+Y≤|X|+|Y|
……③
即
|X+Y|≤|X|+|Y|
(当且仅当XY≥0时，不等式等号成立)
由③可得|X|=|(X-Y)+Y|≤|X-Y|+|Y|即
|X|-|Y|≤|X-Y|
同理可得:|Y|=|(Y-X)+X|≤|Y-X|+|X|即
|Y|-|X|≤|Y-X|=|X-Y|
整理得:±﹙|X|-|Y|)≤
|X-Y|
即:丨|X|-|Y|丨≤
|X-Y|
﹣|X|≤X≤|X|
......①
﹣|Y|≤Y≤|Y|
......②
①+②得:﹣﹙|X|+|Y|)≤X+Y≤|X|+|Y|
……③
即
|X+Y|≤|X|+|Y|
(当且仅当XY≥0时，不等式等号成立)
由③可得|X|=|(X-Y)+Y|≤|X-Y|+|Y|即
|X|-|Y|≤|X-Y|
同理可得:|Y|=|(Y-X)+X|≤|Y-X|+|X|即
|Y|-|X|≤|Y-X|=|X-Y|
整理得:±﹙|X|-|Y|)≤
|X-Y|
即:丨|X|-|Y|丨≤
|X-Y|
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