Question

已知a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，设p＝2a2+1?2b2+1+3c2+1，则p的最大值为______

已知a，b，c是正实数，且abc+a+c=b，设p＝2a2+1?2b2+1+3c2+1，则p的最大值为______．

Answer 1

设a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，α，β，γ∈（0，π2），
则p=2cos2α-2cos2β+3cos2γ=cos2α-cos2β+3cos2γ=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos2γ．
由abc+a+c=b得b=a+c1?ac
即tanβ=tanα+tanγ1?tanαtanγ=tan（α+γ），又α，β，γ∈（0，π2），
所以β=α+γ，β-α=γ，p=2sin（α+β）sin（β-α）+3cos2γ=2sin（α+β）sinγ+3cos2γ≤2sinγ+3cos2γ=103-3（sinγ-13）2≤103．
当α+β=π2，sinγ=13时取等号．
所以p＝2a2+1?2b2+1+3c2+1的最大值为103
故答案为：103