Question

已知数列{an}满足a(n+1)=an+n,a1=1,则an=

Answer 1

a(n+1)=an+n即a(n+1)-an=n
所以n>=2时有
an-a(n-1)=n-1
....
a2-a1=1
以上n-1个式子相加得到
an-a1=1+2+3+...+（n-1）=n*(n-1)/2
an=n*(n-1)/2+1
n=1时，a1=1*(1-1)/2+1=1,也满足上式，所以
an=n*(n-1)/2+1

Answer 2

an-a(n-1)=n-1
a(n-1)-a(n-2)=n-2
......
a2-a1=1

an-1=(n-1)+(n-2)+...+2+1=(n-1)n/2

an=1+[(n-1)n/2]

Answer 3

对n>1，a(n)=a(n-1)+(n-1)=a(n-2)+(n-2)+(n-1)=a(n-3)+(n-3)+(n-2)+(n-1)=......=a(1)+1+2+3+...+(n-2)+(n-1)=a(1)+n(n-1)/2=1+n(n-1)/2，从而，a(n)=1+n(n-1)/2,n>1.易知，此通项公式对n=1同样成立。