Question

求导的问题

1、举个例子 f没有导数 g没有导数，f(g(x)）有导数
2、 √x的导数是1/(2√x) 怎么证明？ 题目好怪

谢谢

Answer 1

1。取（0,+∞）上的函数：
f ={ x, x∈Q(有理数)；
1/x, x∈(0,+∞)\Q.
g={ 1/x, x∈Q;
x, x∈(0, +∞)\Q.
于是f,g既不连续，也不可导，
f(g(x))={ g(x), g(x)∈Q;
1/g(x), g(x)∉Q
={ 1/x, x∈Q;
1/x, x∉Q
=1/x,
则：(f(g(x)))'=(1/x)'
= -1/(x^2). 有导数。
2。设f(x)=√x, x>=0, t≄0.
于是: f'(x)=lim(t→0)(f(x+t)-f(x))/t
=lim(t→0)(√(x+t)-√x)/t
=lim(t→0)t/(t(√(x+t)+√x))
=lim(t→0)1/(√(x+t)+√x)
=1/(2√x).

Answer 2

1一些分段函数和一些特殊的函数。比如f=|x|,g=1/|x|,f(g(x))=f*g=1;这个例子可以说明问题咯。
2证明题用定义证，limh-0/x+h-/x比上h=......综上，定义很重要

Answer 3

1）不应该是指整个定义域内不可导，而应该是指某些特定的点处。比如：f(x)=1/x,g(x)=2/x在x=0时皆不可导[不存在f'(0),g'(0)],但它们的复合函数f(g(x))=x/2是可导的。
2）[√x]'=(1/2)x^(1/2-1)
=(1/2)x^(-½)
=1/(2√x) 证毕。